Falsos negativos

En nuestra última visita al veterinario llevamos un perrito que hemos «rescatado» de la calle y que, como cualquier perro callejero, tiene la posibilidad de sufrir un sinnúmero de enfermedades, entre ellas la conocida como moquillo (o distemper).

Así que pedimos se le realizara un examen de diagnóstico para esta enfermedad, el cual resultó negativo. Sin embargo, aun cuando este examen, de salir positivo, es útil para diagnosticar la enfermedad, no es tan efectivo para excluirla, ya que sólo la detecta en ciertas fases. De hecho, su efectividad es, según el veterinario, apenas del 50% cuando está presente la enfermedad.

«Si el resultado nos da negativo,» –comentó– «entonces es como echar un volado.» ¿Es cierto esto?

Cuando el resultado es negativo aun cuando la enfermedad está presente, entonces le llamamos un «falso negativo». Así que, cuando el resultado es negativo, ¿cuál es la probabilidad de que sea un falso negativo?

Estamos interesados entonces en la probabilidad de que el perro esté enfermo si la prueba resulta negativa. Para esto utilizaremos la fórmula de Bayes

$P(enf|neg) = \dfrac{P(neg|enf)P(enf)}{P(neg|enf)P(enf)+P(neg|sano)P(sano)},$

donde $P(enf)$ es la probabilidad de que el perro esté enfermo, $P(sano)$ es la probabilidad de que el perro esté sano, $P(neg|enf)$ es la probabilidad de que el resultado del examen sea negativo dado aun cuando el perro está enfermo, $P(neg|sano)$ la probabilidad de que el resultado sea negativo cuando el perro está sano, y $P(enf|neg)$ es la probabilidad que buscamos.

Suponemos que la probabilidad de que un perro esté enfermo es $p$ ; en otras palabras, una proporción $p$ de perros tienen la enfermedad. Entonces $P(enf)=p$ y $P(sano)=1-p$ . Como la prueba sólo tiene efectividad del $50\%$ en la presencia de la enfermedad,

$P(neg|enf) = \dfrac{1}{2}.$

Sin embargo, el examen es efectivo si el resultado es positivo, es decir, no da «falsos positivos». Por lo tanto, cuando un perro está sano, el resultado será negativo. Así que $P(neg|sano)=1$ .

Tenemos entonces que

$P(enf|neg) = \dfrac{1/2\cdot p}{1/2\cdot p + 1\cdot(1-p)} = \dfrac{p/2}{1-p/2}.$

Así que, si el resultado es negativo, la probabilidad de que el perro esté enfermo $\dfrac{p/2}{1-p/2}.$ Si $p$ no es muy grande, entonces es apenas un poco mayor a $p/2$ , la mitad de la proporción de perros enfermos, porque

$\displaystyle \frac{p/2}{1-p/2} = \frac{p}{2} + \frac{p^2}{4} + \ldots,$

por el teorema de Taylor. Por ejemplo, si la proporción de perros con moquillo fuera del $5\%$ , entonces, si el resultado es negativo, la probabilidad de que el perro esté enfermo es poco mayor al $2.5\%$ , más precisamente del $2.56\%$ .

Sería «como echar un volado» solo si dos terceras partes de los perros estuviesen enfermos de moquillo ( $p=2/3$ ), caso para el cual $P(enf|neg)=1/2$ .